CF1217E 【Sum Queries?】

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题意

记$sum$为一个多重集的所有元素的和

我们这样定义一个多重集是平衡的$:$

对于$sum$的每一个数位，多重集中至少有一个元素与$sum$此数位相同

现在，给你一个a数组，有两种操作

1.修改a数组中一个位置的值

2.询问一个区间中所有不平衡多重集的sum的最小值

$\large\mathcal{Solution}$

首先，容易得到的是，一个平衡的多重集中不存在两个及以上的元素在某个数位都有值（大于0）。反过来， 一个不平衡的多重集中至少有一个数位上有两个及以上的元素有值。

如果没有修改

由不平衡多重集的这个性质可以得出，只考虑一个数位的话，sum的最小值为在该位上有值的最小的两个元素之和。

考虑多个数位的话，那答案就是$min${每个数位的sum的最小值}

知道了这点，做法就很显然了，我们可以对每一个数位建一颗线段树，维护在该位上有值的元素的最小值$Min$和次小值$Secmin$,那么答案就是$min${$Min_{i}+Secmin_{i}$}。

接下来，考虑带上修改

直接把$a_{x}$改成$y$不太容易操作，所以我们可以先把$a_{x}$变成$0$，再改成$y$。(两次单点修改)

$\large\mathcal{Code}$

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <climits>

template <typename Tp>
inline void read(Tp &x) {
    x = 0;
    bool f = true; char ch = getchar();
    for ( ; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) f ^= ch == '-';
    for ( ; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + (ch ^ 48);
    x = f ? x : -x;
}

const int N = 2e5 + 7;

int a[N], b[N];

struct node {
    int Min, Secmin;
    #define Min(x) tre[x].Min
    #define Secmin(x) tre[x].Secmin
};

struct Segment_Tree {
    node tre[N << 2];
    inline void build(int p, int l, int r) {
        Min(p) = Secmin(p) = INT_MAX;
        if (l == r) {
            if (b[l]) Min(p) = a[l];
            return;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        build(p << 1, l, mid), build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
        if (Min(p << 1) < Min(p << 1 | 1)) {
            Min(p) = Min(p << 1);
            Secmin(p) = std::min(Secmin(p << 1), Min(p << 1 | 1));
        }
        else {
            Min(p) = Min(p << 1 | 1);
            Secmin(p) = std::min(Secmin(p << 1 | 1), Min(p << 1));
        }
    }
    inline void change(int p, int l, int r, int x, int k, int v) {
        if (l == r) {
            Min(p) = Secmin(p) = INT_MAX;
            if (k) Min(p) = v;
            return;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (x <= mid) change(p << 1, l, mid, x, k, v);
        if (x > mid) change(p << 1 | 1, mid + 1, r, x, k, v);
        if (Min(p << 1) < Min(p << 1 | 1)) {
            Min(p) = Min(p << 1);
            Secmin(p) = std::min(Secmin(p << 1), Min(p << 1 | 1));
        }
        else {
            Min(p) = Min(p << 1 | 1);
            Secmin(p) = std::min(Secmin(p << 1 | 1), Min(p << 1));
        }
    }
    inline node Get_ans(int p, int l, int r, int x, int y) {
        if (l >= x && r <= y) return tre[p];
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (y <= mid) return Get_ans(p << 1, l, mid, x, y);
        if (x > mid) return Get_ans(p << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
        node ans1 = Get_ans(p << 1, l, mid, x, y), ans2 = Get_ans(p << 1 | 1, mid + 1, r, x, y), ans;
        if (ans1.Min < ans2.Min) {
            ans.Min = ans1.Min;
            ans.Secmin = std::min(ans1.Secmin, ans2.Min);
        }
        else {
            ans.Min = ans2.Min;
            ans.Secmin = std::min(ans2.Secmin, ans1.Min);
        }
        return ans;
    }
};
Segment_Tree T[9];

int main() {
    int n, m;
    read(n), read(m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i]);
    for (int i = 0, x = 1; i < 9; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) b[j] = (a[j] / x) % 10;
        T[i].build(1, 1, n);
        x *= 10;
    }
    while (m--) {
        int opt, x, y;
        read(opt), read(x), read(y);
        if (opt == 1) {
            for (int i = 0; i < 9; ++i) T[i].change(1, 1, n, x, 0, 0);
            a[x] = y;
            for (int i = 0; i < 9; ++i) {
                T[i].change(1, 1, n, x, y % 10, a[x]);
                y /= 10;
            }
        }
        else {
            int ans = INT_MAX;
            for (int i = 0; i < 9; ++i) {
                node t = T[i].Get_ans(1, 1, n, x, y);
                ans = std::min(ans, (t.Secmin == INT_MAX ? INT_MAX : t.Min + t.Secmin));
            }
            printf("%d\n", ans == INT_MAX ? -1 : ans);
        }
    }
    return 0;
}