CF1217E 【Sum Queries?】

题意

记$sum$为一个多重集的所有元素的和

我们这样定义一个多重集是平衡的$:$

对于$sum$的每一个数位,多重集中至少有一个元素与$sum$此数位相同

现在,给你一个a数组,有两种操作

1.修改a数组中一个位置的值

2.询问一个区间中所有不平衡多重集的sum的最小值

$\large\mathcal{Solution}$

首先,容易得到的是,一个平衡的多重集中不存在两个及以上的元素在某个数位都有值(大于0)。反过来, 一个不平衡的多重集中至少有一个数位上有两个及以上的元素有值。

如果没有修改

由不平衡多重集的这个性质可以得出,只考虑一个数位的话,sum的最小值为在该位上有值的最小的两个元素之和

考虑多个数位的话,那答案就是$min${每个数位的sum的最小值}

知道了这点,做法就很显然了,我们可以对每一个数位建一颗线段树,维护在该位上有值的元素的最小值$Min$和次小值$Secmin$,那么答案就是$min${$Min_{i}+Secmin_{i}$}。

接下来,考虑带上修改

直接把$a_{x}$改成$y$不太容易操作,所以我们可以先把$a_{x}$变成$0$,再改成$y$。(两次单点修改)

$\large\mathcal{Code}$

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <climits>

template <typename Tp>
inline void read(Tp &x) {
x = 0;
bool f = true; char ch = getchar();
for ( ; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) f ^= ch == '-';
for ( ; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + (ch ^ 48);
x = f ? x : -x;
}

const int N = 2e5 + 7;

int a[N], b[N];

struct node {
int Min, Secmin;
#define Min(x) tre[x].Min
#define Secmin(x) tre[x].Secmin
};

struct Segment_Tree {
node tre[N << 2];
inline void build(int p, int l, int r) {
Min(p) = Secmin(p) = INT_MAX;
if (l == r) {
if (b[l]) Min(p) = a[l];
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(p << 1, l, mid), build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
if (Min(p << 1) < Min(p << 1 | 1)) {
Min(p) = Min(p << 1);
Secmin(p) = std::min(Secmin(p << 1), Min(p << 1 | 1));
}
else {
Min(p) = Min(p << 1 | 1);
Secmin(p) = std::min(Secmin(p << 1 | 1), Min(p << 1));
}
}
inline void change(int p, int l, int r, int x, int k, int v) {
if (l == r) {
Min(p) = Secmin(p) = INT_MAX;
if (k) Min(p) = v;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
if (x <= mid) change(p << 1, l, mid, x, k, v);
if (x > mid) change(p << 1 | 1, mid + 1, r, x, k, v);
if (Min(p << 1) < Min(p << 1 | 1)) {
Min(p) = Min(p << 1);
Secmin(p) = std::min(Secmin(p << 1), Min(p << 1 | 1));
}
else {
Min(p) = Min(p << 1 | 1);
Secmin(p) = std::min(Secmin(p << 1 | 1), Min(p << 1));
}
}
inline node Get_ans(int p, int l, int r, int x, int y) {
if (l >= x && r <= y) return tre[p];
int mid = (l + r) >> 1;
if (y <= mid) return Get_ans(p << 1, l, mid, x, y);
if (x > mid) return Get_ans(p << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
node ans1 = Get_ans(p << 1, l, mid, x, y), ans2 = Get_ans(p << 1 | 1, mid + 1, r, x, y), ans;
if (ans1.Min < ans2.Min) {
ans.Min = ans1.Min;
ans.Secmin = std::min(ans1.Secmin, ans2.Min);
}
else {
ans.Min = ans2.Min;
ans.Secmin = std::min(ans2.Secmin, ans1.Min);
}
return ans;
}
};
Segment_Tree T[9];

int main() {
int n, m;
read(n), read(m);
for (int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i]);
for (int i = 0, x = 1; i < 9; ++i) {
for (int j = 1; j <= n; ++j) b[j] = (a[j] / x) % 10;
T[i].build(1, 1, n);
x *= 10;
}
while (m--) {
int opt, x, y;
read(opt), read(x), read(y);
if (opt == 1) {
for (int i = 0; i < 9; ++i) T[i].change(1, 1, n, x, 0, 0);
a[x] = y;
for (int i = 0; i < 9; ++i) {
T[i].change(1, 1, n, x, y % 10, a[x]);
y /= 10;
}
}
else {
int ans = INT_MAX;
for (int i = 0; i < 9; ++i) {
node t = T[i].Get_ans(1, 1, n, x, y);
ans = std::min(ans, (t.Secmin == INT_MAX ? INT_MAX : t.Min + t.Secmin));
}
printf("%d\n", ans == INT_MAX ? -1 : ans);
}
}
return 0;
}